Equação Diferencial de Ativação Escalar Ação--Fase no Limite Newtoniano. Engenharia reversa da resposta material, do potencial e da aceleração gravitacional

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O artigo VI, Geometria como Estrutura de Propagação Ação--Fase: Modos Passivos, Ativação Espectral pela Matéria e Limite Gravitacional Local, estabeleceu uma cadeia na qual a matéria atua no setor ação--fase por meio da fonte mista \(J_m=-K_{\phi\psi}\xi\), a resposta linear satisfaz \(K_{\phi\phi}\eta=J_m\), o limite infravermelho reduz-se à equação de Poisson e a aceleração de uma partícula-teste emerge da ação e da equação de Hamilton--Jacobi \cite{6}. O presente trabalho não introduz uma nova dinâmica microscópica. Seu objetivo é mais restrito: explicitar, por engenharia reversa, a equação diferencial local do canal escalar newtoniano cuja solução coincide exatamente com a solução já demonstrada naquele trabalho. Definimos a projeção escalar física da resposta ação--fase ativada por \[ \chi_{\rm AF}:=\frac{\Phi}{c^2}=-\frac12 h_{00}, \] e obtemos \[ \nabla^2\chi_{\rm AF} = \frac{4\pi G}{c^2}\rho, \qquad \mathbf a=-c^2\nabla\chi_{\rm AF}. \] Para uma fonte isolada, essa equação produz \(\chi_{\rm AF}(\mathbf x)=-(G/c^2)\int \rho(\mathbf y)|\mathbf x-\mathbf y|^{-1}d^3y\), e, no exterior de uma fonte esférica, \(\chi_{\rm AF}=-GM/(c^2r)\), recuperando \(\Phi=-GM/r\) e \(\mathbf a=-GM\hat{\mathbf r}/r^2\). Ao manter separadas a resposta ação--fase abstrata \(\eta\), sua projeção escalar \(\chi_{\rm AF}\) e a fase da partícula \(\varphi=S/\hbar\), a construção fornece uma forma diferencial compacta para a cadeia \[ \rho\longrightarrow\chi_{\rm AF}\longrightarrow \varphi\longrightarrow\mathbf v\longrightarrow\mathbf a. \] O resultado deve ser interpretado como especialização diferencial e engenharia reversa do setor newtoniano já fechado, não como derivação de um novo operador fundamental a partir da ação ação--fase.