Points entiers, monodromie, annulation générique et la transformation de Fourier-Mukai

Le résumé fourni par la source

Cette thèse est une compilation de plusieurs résultats vaguement liés. Ils concernent la non-densité des points entiers sur les variétés algébriques, la méthode de Lawrence-Venkatesh-Sawin et la géométrie analytique complexe. Dans Chapitre 2, parallèlement au principe alternatif d'Ullmo et Yafaev sur les points rationnels des variétés de Shimura, nous montrons que la conjecture de Lang sur les points intégraux des variétés de Shimura est soit vraie, soit très fausse. Le Chapitre 3 est un complément à la comparaison des monodromies dans les travaux respectifs de Lawrence-Sawin et Krämer-Maculan. Nous prouvons qu'il existe de nombreux caractères, tels que le groupe de monodromie correspondant est normal dans le groupe tannakien générique. Le Chapitre 4 contient un théorème de l'annulation générique pour les variétés dans la classe Fujiki C. En particulier, cela s'applique aux variétés algébriques complexes propres lisses ainsi qu'aux variétés kählériennes compactes. Dans Chapitre 5, nous prouvons un analogue de la formule d'inversion de Fourier pour la transformation de Fourier-Mukai sur des tores complexes. Il corrige une inexactitude dans la littérature. En application, nous retrouvons la classification de Matsushima-Morimoto des fibrés vectoriels homogènes sur des tores complexes. Le Chapitre 6 est une transformation de Fourier-Mukai analytique sur les D-modules, dont la version algébrique a été étudiée par Laumon et Rothstein. Nous étendons leur résultat de dualité des variétés abéliennes aux tores complexes. En application, nous réprouvons le théorème de Morimoto, selon lequel sur un tore complexe, tout fibré vectoriel admettant une connexion admet une connexion intégrable.

Ce résumé expose les affirmations des auteurs. BNTIC ne l’interprète pas comme une validation indépendante des résultats.