L'équation de Teukolsky sur les espaces-temps de Kerr sous-extrémaux

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Dans cette thèse, nous étudions l'équation de Teukolsky sur les espaces-temps de Kerr sous-extrémaux. Ces derniers sont des solutions explicites de l'équation d'Einstein dans le vide qui décrivent des trous noirs éternels en rotation dans un univers par ailleurs vide. L'équation de Teukolsky est issue de l'étude d'équations d'onde tensorielles sur ces espaces-temps telles que les équations de Maxwell et les équations de la gravité linéarisée. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique scalaire linéaire qui gouverne certaines composantes particulières du champ. Dans le cas de la gravité linéarisée, l'analyse de cette équation joue un role central dans l'étude de la stabilité linéaire et non linéaire des trous noirs de Kerr. Nous donnons dans un premier temps une description détaillée des notions géométriques nécessaires pour comprendre d'où vient l'équation de Teukolsky. Nous introduisons les fibrés des spineurs, les formalismes de Newman-Penrose et GHP (Geroch–Held–Penrose), les fonctions à poids spinoriels et l'opérateur de Teukolsky et nous montrons comment certaines équations d'ondes tensorielles se découplent pour certaines composantes spéciales (appelées scalaires de Teukolsky). Nous étudions ensuite le comportement en temps long des solutions de l'équation de Teukolsky avec des données initiales régulières et localisées. Quand ces dernières sont à support compact, nous prouvons que la solution admet un terme principal en temps long et nous le calculons explicitement. Si les données initiales ont seulement une décroissance polynomiale inverse, nous obtenons une borne polynomiale inverse par rapport au temps pour la solution. Une force de ces résultats est qu'ils ne sont pas limités au cas des trous noirs de Kerr à rotation lente mais sont valables dans l'intervalle sous-extrémal tout entier des paramètres du trou noir. Cette analyse est fondée sur des avancées récentes en analyse spectrale et microlocale dans le contexte de la relativité générale et requiert une description précise de la résolvante à basse énergie. Dans l'appendice de la thèse, nous fournissons des notes à propos de la théorie hyperbolique standard pour les opérateurs différentiels. En particulier nous présentons des résultats d'existence, d'unicité et d'approximation pour les solutions d'équations différentielles hyperboliques d'ordre deux sur des fibrés vectoriels. Nous fournissons également une introduction à l'utilisation des méthodes microlocales pour l'obtention d'estimées Fredholm au travers d'une application à un exemple unidimensionnel simple avec un minimum d'outils techniques.

Ce résumé expose les affirmations des auteurs. BNTIC ne l’interprète pas comme une validation indépendante des résultats.